Геометрия в паркетах

Паркеты - плоский вид орнамента. Орнаменты изучают и археологи, и этнографы, и дизайнеры, и строители.И он интересен математикам. Орнамент – один из самых упорядоченных и систематических видов искусств.

В нем проявляется математическая строгость организации формы, простая или усложненная система поворотов и повторов. Узор орнамента, как правило, строится по законам симметрии. Можно удивительно просто превратить случайный рисунок или фрагмент в красивый и стройный орнамент. Нужно лишь многократно повторить имеющееся изображение, соблюдая законы симметрии.

В геометрии под мозаикой (паркетом) понимают заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами мозаики), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда мозаикой называют заполнение плоскости несколькими фигурами, например, правильными многоугольниками).

Математически доказано, что регулярное замощение плоскости возможно только тремя правильными многоугольниками: треугольником, квадратом и шестиугольником.Еще пифагорейцы установили, что вокруг одной точки могут лежать, либо шесть правильных треугольников, либо четыре квадрата, либо три правильных шестиугольника.

Обычный тетрадный листок в клеточку представляет собой простейшую геометрическую мозаику. Элементом здесь является квадрат. Элементами мозаики могут быть также параллелограмм и произвольные четырехугольники. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов.

Придуманы мозаики, у которых несколько элементов образуют фигуру, подобную элементу мозаики.
Всего существует 17 видов симметрии сетчатых орнаментов. Первые семь из них допускают создание интересных мозаик без прямолинейных контуров.

Мозаики являются прекрасным материалом для интересного и содержательного изучения геометрии и некоторых закономерностей расположения фигур на плоскости. Разглядывая паркеты, мы можем увидеть различные виды движения: параллельный перенос, поворот, осевую и центральную симметрии.

На деле это означает, что фигурка смещается на некоторое расстояние и как бы вкладывается в предыдущую, не меняя своего положения. Если в качестве меры расстояния взять 1 клеточку, то рассчитав, на какое количество клеточек нужно смещать фигурку вверх и вправо, получим два числа, определяющих вектор перемещения. Изменение вектора может привести к получению интересных мозаичных рисунков.

Заполнения плоскости различными фигурами, дающими полностью покрытую плоскость мозаики. Эта мозаика отличается от предыдущих тем, что для заполнения плоскости образец нужно не только сдвинуть на определенное число клеток, но повернуть относительно некоторой точки - центра симметрии.

Общий принцип построения мозаик из сложных фигур (рисунков животных, растений, объектов с криволинейными формами) с использованием различных видов симметрии можно описать как постепенный переход от простых фигур " по тетрадным клеточкам" к более сложным. Начав с простых квадратов и четырехугольников, постепенно усложняя и развивая фигуры, получаем сначала примитивное схематичное изображение, затем добавлением деталей и скруглением форм получаем детализированное изображение со сглаженным контуром.

Вывод: паркеты— плоский вид орнамента. В геометрии под мозаикой (паркетом) понимают заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами мозаики), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства.

Элементами мозаики могут быть не только правильные многоугольники: треугольник, квадрат и шестиугольник, а также параллелограмм, другие произвольные четырехугольники, пятиугольники; составленные из них различные фигуры.

Можно строить мозаики в виде рисунков животных, растений, объектов с криволинейными и сглаженными формами. Последние формы применял известный голландский художник Морис Эшер в своих работах.