Плоскость и её движение в геометрии

В геометрии движением плоскости называют отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Рассмотрим такие движения плоскости, как центральная и осевая симметрии, параллельный перенос и поворот.

Симметрию относительно точки называют центральной симметрией.

Точки M и M1 симметричны относительно некоторой точки O, если точка O является серединой отрезка MM1.

Точка O называется центром симметрии.

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

Построим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки) O:

1. Для этого соединим точки A, B, C с центром O и продолжим эти отрезки;

2. Измерим отрезки AO, BO, CO и отложим с другой стороны от точки O, равные им отрезки AO=OA1;BO=OB1;CO=OC1;

3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник A1B1C1, симметричный данному треугольнику ABC.

Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).

Точки M и M1 симметричны относительно некоторой прямой (оси симметрии), если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии от оси симметрии.

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.

Построим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC относительно красной прямой.

1. Для этого проведём из вершин треугольника ABC прямые, перпендикулярные оси симметрии и продолжим их дальше на другой стороне оси.
2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.
3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник A1B1C1, симметричный данному треугольнику ABC.

Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

Фигура считается симметричной относительно прямой, если для каждой точки рассматриваемой фигуры, симметричная для неё точка относительно данной прямой также находится на этой фигуре. Прямая является в этом случае осью симметрии фигуры.

Параллельным переносом фигуры называется перенос всех точек плоскости на одно расстояние в одном направлении.

• Параллельный перенос определяет вектор, по которому совершается перенос.
• Чтобы совершить параллельный перенос, нужно знать направление и расстояние, что означает задать вектор.

Если одна фигура получена из другой фигуры поворотом всех её точек относительно центра O на один и тот же угол в одном и том же направлении, то такое преобразование фигуры называется поворотом.

Чтобы поворот имел место, должен быть задан центр O и угол поворота α.

Против часовой стрелки положительный угол поворота, наоборот — отрицательный угол поворота (так же как углы поворота в единичной окружности).

Треугольник ABC повёрнут в положительном направлении (приблизительно на α=45 градусов).

Если угол поворота равен 180 или −180 градусам, то фигура отображается как центрально симметричная данной, и этот поворот называется центральной симметрией.

Вывод из главы 1: в геометрии рассматриваются такие движения плоскости, как центральная и осевая симметрии, параллельный перенос и поворот. Все они сохраняют расстояние между точками. Подробно было дано описание каждого из них, построены соответствующие рисунки.