Проект на тему "Кольца Борромео"

При работе над индивидуальным исследовательским проектом по математике на тему "Кольца Борромео" учащийся 10 класса определил значение термина "Кольца Борромео", рассмотрел и классифицировал их разновидности и сферы использования, а также выяснил почему кольца не расцепляются.

Обучающийся 10 класса в рамках исследовательской работы (проекта) по математике о Кольца Борромео пришел к выводу о том, что кольца Борромео используется в различных сферах жизни человека: психологии, квантовой физике, архитектуре, живописи, геральдике, производстве, образовании, спорте. Автор также подтвердил, что кольца Борромео можно использовать в плетении кольчуги.

Оглавление

Введение

1. Теоретическая часть
2. Использование колец борромео в деятельности человека
3. Практическая часть

Заключение
Литература

Актуальность: Окружающий нас мир наполнен геометрией творений природы и человека. Развитие науки и техники, освоение новых технологий, поиски прекрасного, заставляют искать новые методы, способные изменить пространственное мышление, воображение людей.
В современном мире оформление и презентацию деятельности человека невозможно представить без символики, эмблем и логотипов.

Я заметил, что достаточно часто, в различных элементах символики встречается фигура, состоящая из трех колец, переплетенных особым образом.
Меня заинтересовала эта тема и я решил выяснить что это за кольца, разобраться в особенности их соединения, оценить их важность для различных областей деятельности человека.

Цель: Изучить литературу о возникновения колец Борромео, создать модель колец.

Математическими исследованиями зацеплений колец, в частности колец Борромео, занимается ветвь математики – топология, раздел – теория узлов и зацеплений. Она изучает свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при отображениях.

Долгое время топология воспринималась как наука, далёкая от жизни, призванная лишь «прославлять человеческий разум». Но в наше время выяснилось, что она имеет самое непосредственное отношение к объяснению устройства мироздания.

Кольца Борромео - фигура основанная на симметричной расстановке перекрывающих друг друга колец. Предполагая, что все кольца плоские, такая фигура не может существовать в нашем мире. Для создания фигуры в трехмерном пространстве необходимы разрывы или искажения.

В математике кольца Борромео состоят из трех топологических кругов, объединенных в соединение таким образом, что их не расцепишь, хотя любые два из них не зацеплены (рис.1). При разъединении в конструкции одного из колец мы получаем три расцепленных кольца.

Почему кольца Борромео не расцепляются?
Можно ли аналогично зацепить большее число колец?
в статье «Эта удивительная вязь колец» для ответа на эти вопросы предлагает использовать проволочные модели.

Рис.1

Изготовим кольца Борромео из гибкой проволоки (или веревки). Выбрав какие-нибудь два кольца (красное и синее), разведем их, не изгибая, друг от друга. При этом третье (желтое) кольцо изогнется, образуя нечто вроде двойной скобы (рис.2).

Эта скоба вставлена в синее кольцо, а красное кольцо – служит замком, не позволяя нам вынуть скобу из синего кольца. Но оборвешь любое кольцо – все развалится!

Рис.2

Если кольца на самом деле не зацеплены, то есть их можно отделить друг от друга (разрешается их гнуть и как угодно двигать, но рвать нельзя), то совокупность колец называют тривиальным зацеплением. В противном случае кольца образуют нетривиальное зацепление, они зацеплены. На языке этих терминов, утверждает, что кольца Борромео, во-первых, зацеплены, и, во-вторых, удаление любого кольца приводит к тривиальному зацеплению всех колец.

Оказывается, что можно переплести любое число колец, обладающих этим свойством, если расположить кольца в виде цепочки (рис.3).

Рис.3

Эта цепочка наиболее естественное и давно известное зацепление, но существуют и другие варианты, обладающие точно таким же свойством. Такие цепи обладают важным практическим преимуществом – их можно собирать из целых звеньев. У обычной цепи приходится сваривать каждое звено, предварительно сцепив его с соседним. Цепи из колец Борромео издавна применяются для украшений и в быту.

Название колец Борромео происходит от фамилии аристократической итальянской семьи Борромео, которая владеет на севере Италии тремя островами на озере, где расположен впечатляющий дворец в стиле барокко, построенный в семнадцатом веке Витальяно Борромео. Символ расположен на гербе семьи Борромео и во множестве украшает стены их родового поместья.

В самом дворце и в саду можно встретить много примеров знаменитой эмблемы дома Борромео: на цветочных горшках, в украшениях ворот (рис.4):

Во все времена кольца Борромео служили символом "силы в единстве".
Древний скандинавский символ, который имеет точно такую же топологию, как и кольца Борромео, — это треугольники Одина (рис.5). В рунической магии он называется Валькнут. Переплетение трех треугольников — это символ Одина, символ переходов (мостов) между мирами.

Валькнут часто встречается при археологических раскопках на древних рунических камнях, как правило, поминальных, рядом с изображениями Одина или павших воинов. Его иногда так и называют — Узел Павших или Узел Избранных. Три переплетенных треугольника символизируют три мира: мир богов, мир людей и мир мертвых.

Рис.5

Кольца Борромео как топологическая структура используются в качестве символа христианской Троицы. Ранее встречались такие символы, как равносторонний треугольник, круг и некоторые другие, но сейчас все чаще Троицу изclass="center-img"ображают в виде колец Борромео (рис.6). Одним из самых ранних источников, где было при-ведено такое изображение Пресвятой Троицы, считается рукопись тринадцатого столетия, которая хранилась в муниципальной библиотеке г. Шартр во Франции.

Рис.6

На надгробье великого Микеланджело (рис.7) три венка: лавровый, оливковый и дубовый, переплетаясь между собой, как кольца Борромео, символизируют три взаимосвязанных вида искусства, в которых прославился Микеланджело Буонаротти, - скульптуру, живопись и архитектуру.

Рис.7

Подобно кольцам Борромео, таким же способом, соединялись и другие изогнутые объекты. Например, в геральдике часто применялись символы змей, полумесяцев и серпов (рис.8):

Японские геральдические символы примечательны своим многообразием, изобретательностью и элегантностью. В изображениях можно заметить и аистов, и бамбук, и многоугольники, и томо - запятые (рис.9):

В наши дни кольца Борромео можно встретить в логотипах различных университетов, производственных компаний, фестивалей, общественных организаций.

Кольца Борромео используются в изображении олимпийских колец (рис 10):

Французский психоаналитик Жан Лакан использовал три кольца Борромео, чтобы систематизировать взаимоотношения между Реальностью (материальный мир), Символами (мир языка и абстрактных идей) и Воображением (мир видений и снов)

Группа физиков в 2006 году получила из трех обычных атомов цезия новое состояние вещества, предсказанное советским ученым Виталием Ефимовым ещё в 1970 году. В новом состоянии вещества любые два из трех атомов цезия на близких расстояниях отталкиваются. Но когда собирают три атома вместе, то они притягиваются. Атомы в новом состоянии ведут себя как кольца Борромео – три кольца, продетые друг в друга. При перемещении одного, перемещаются и два других.

Я выполнил построение колец Борромео из скрепок (рис.11). Получившаяся фигура не является плоской, она «шатром» поднимается над плоскостью стола. При удалении скрепки желтого цвета (правая), вся конструкция распадается.

Рис.11

Построения типа колец Борромео можно использовать и для изготовления кольчуги. Я изготовил фрагменты кольчуги из бумажных колец, скрепляя их с помощью степлера (рис.12):

Второй фрагмент кольчуги сделан мною из колец меньшего радиуса. Кольчуга получилась более плотной, соответственно и более прочной. Времени на изготовление этого фрагмента ушло гораздо больше, чем в первом случае.

При обрыве одного кольца в построении Борромео появляется локальная дырочка. Фрагмент кольчуги остается целым. Для сравнения я рассмотрел фрагмент трикотажного плетения. Я увидел, что повреждение в трикотажном плетении приводит к повреждению всего фрагмента. Преимущество кольчуги, изготовленной в технологии колец Борромео, заключается в том, что при повреждении одного кольца, кольчуга остается целой.

По окончании своей работы я отмечаю: бумажные кольца сложно переплетать в силу их тонкости, неправильное переплетение порождает дыру в «кольчуге», плетение 3-го и последующих рядов колец осложняется неочевидностью сцепления, для построения фрагментов различных зацеплений нужно использовать достаточно плотную бумагу, заранее продумывать способ плетения и постоянно смотреть за результатом.

В ходе исследовательского индивидуального проекта по математике «Кольца Борромео» ученик 10 класса пришел к выводу о том, что кольца Борромео – одна из самых известных невозможных фигур, имеющая древнюю историю.

Кольца Борромео имеют множество видов переплетений. Кольца Борромео используется во многих сферах деятельности человека: психологии, квантовой физике, архитектуре, живописи, геральдике, производстве, образовании, спорте. Я убедился, что кольца Борромео можно использовать в плетении кольчуги для реконструкции исторических событий.

1. Энциклопедия для детей, «Математика», Аванта+, Москва, 2001
2. Библиотечка КВАНТ выпуск 50, «Эта удивительная вязь колец», Москва, «Наука», 1988
3. Малый Мехмат МГУ, занятия кружка 9-11 класса https://mmmf.msu.ru/archive/20102011 Малый Мехмат МГУ, «Квантовая магия», ИГ «Весь», 2007