В исследовательской работе и проекте по математике "Замечательные математические кривые: розы и спирали" авторы расширили знания о том, что такое роза Гранди и спирали, установили какие виды роз и спиралей существуют, выяснили их применение.

Подробнее о работе:

В готовом исследовательском проекте по математике на тему «Замечательные математические кривые: розы и спирали» авторы сделали выводы о том, что что спирали и розы занимают важную и значимую роль в нашей жизни. Нами была приведена классификация кривых Гвидо Гранди и описаны их основные свойства.

Исследовав, как изменяются кривые Гвидо Гранди, мы установили связь между количеством лепестков, их формул и симметричности получившегося рисунка.В ходе работы мы получили большое разнообразие форм «роз» Гвидо Гранди, которые дают фантазию для их применения. С помощью различных кривых в полярных координатах и графических редакторов мы можем сделать, например, различные рисунки, рамки-орнаменты или украсить ими фон открыток.

Оглавление

Введение
Глава 1. Кривые и их виды
1.1. Понятие кривой
1.2. Парабола и гипербола
1.3. Эллипс
1.4. Розы Гвидо Гранди и полярная система координат
Глава 2. Применение кривых и спираль Архимеда
2.1. Применение роз Гранди
2.2.Архимедова спираль
2.3. Применение спирали Архимеда
2.4. Социальный опрос
Заключение
Список литературы
Приложения

Математика это мир цифр и расчетов, который позволяет понять множество загадок жизни с точностью.

Тема проекта: замечательные математические кривые: розы и спирали.

Актуальность: актуальностью данной темы является то, что в школьные программы входят основы, а про интересные теории зачастую забывают, например такие замечательные математические кривые, как розы и спирали.

Цель: изучить применение роз Гранди и спирали Архимеда в нашей жизни.

Задачи:

• Выяснить, что такое роза Гранди и спирали;
• Установить какие виды роз и спиралей существуют;
• Выяснить их применение;
• Сделать выводы и дать общее заключение.

Понятие кривой на (или линии) плоскости является обобщением понятия графика функции, а кривые в пространстве — это объекты, обобщающие кривые на плоскости. Например, множество точек на плоскости с координатами x и y, удовлетворяющих уравнению y2 − x = 0, «ничем не хуже» хорошо известной из школьного курса математики параболы, но не является графиком никакой функции (оно «склеено» из двух графиков — y = √x и y = −√x). Кривые играют чрезвычайно важную роль в геометрии, алгебре и даже в астрономии.

Кривые на плоскости.
Рассмотрим теперь кривые общего вида.
Кривой на плоскости (или плоской кривой) называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
F(x,y) = 0, (10) где функция F такова, что хотя бы одна из производных Fx′ и Fy′ отлична от нуля в каждой точке
кривой.

Функция вида y=ax2+bx+c, где а, b, с – некоторые числа, причем, а≠0 число, х – переменная, называется квадратичной функцией.
Графиком квадратичной функции является парабола, она имеет вершину и две ветви, которые могут быть направлены либо вверх, либо вниз

Вершина параболы. Формула.
Чтобы найти координаты вершины параболы (х0; у0), надо воспользоваться формулой:
х0=−b2a.
для нахождения у0 можно просто подставить значение х0 в формулу данной функции y0=ax2+bx+c вместо х.
Значения х, при которых функция принимает значения, равные нулю, называются нулями функции. Другими словами, Значения абсцисс (х) точек пересечения ветвей параболы с осью х, называются нулями функции.

Гипербола.
«Гипербола — это единица на икс». -Из ответа на экзамене
Гипербола – это график функции обратной пропорциональности, которая в общем виде задается следующей формулой:
y=k/x

• x – независимая переменная;
• k ≠ 0;
• при k > 0 гипербола расположена в I и III четвертях координатной плоскости;
• при k < 0 график находится во II и IV четвертях.
• Линии графика называются его ветвями.
• Оси абсцисс и ординат (Ox и Oy) являются асимптотами гиперболы, т.е. ветви бесконечно к ним приближаются, но никогда их не коснутся и не пересекут.
• Ось симметрии – это прямая:
• y = x (при k > 0)
• y = -x (при k < 0)

Пусть на плоскости задана прямая L и точка f, не лежащая на этой прямой. Множество точек плоскости, равноудалённых от L и f, называется параболой. При этом пря- мая L называется директрисой параболы, а точка f — её фокусом. Перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус прямая называется фокальной осью.

Точка пересечения параболы с фокальной осью называется вершиной этой параболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.
Это геометрическое определение выражает фокальное свойство эллипса.
Фокальное свойство эллипса.

Точки , и называются фокусами эллипса, расстояние между ними — фокусным расстоянием, середина отрезка — центром эллипса, число — длиной большой оси эллипса (соответственно, число — большой полуосью эллипса). Отрезки и , соединяющие произвольную точку эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки . Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой эллипса.

Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Из определения следует, что . При , т.е. при , фокусы и , а также центр совпадают, и эллипс является окружностью радиуса. Геометрическое определение эллипса, выражающее его фокальное свойство, эквивалентно его аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением эллипса:Основные свойства эллипсa.

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом r1 равен углу между касательной и фокальным радиусом r2
2. Уравнение касательной к эллипсу в точке М с координатами (xM, yM): 1= xxM/a^2 +yyM/b^2
3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, соединяющий середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда будет проходить через центр эллипсa. (Это свойство дает возможность построением с помощью циркуля и линейки получить центр эллипса.)
4. Эволютой эллипсa есть астероида, что растянута вдоль короткой оси.

В 18 веке итальянский геометр Гвидо Гранди (1671-1742) создал кривые линии с точными плавными очертаниями. Они были похожи на цветок. Семейство этих кривых было названо семейством роз Гвидо Гранди. Их точные черты не причуды природы, они предопределены особо подобранными математическими зависимостями. Эти зависимости были подсказаны самой природой, ведь в большинстве случаев абрис листа или цветка представляет собой кривую, симметричную относительно оси. Свои очаровательные цветы Гвидо Гранди собрал в одну книгу и назвал ее «Цветник роз».

Гранди известен своей работой «Flores geometrici» (1728). Данная работа позволяет изучать кривые, которые имеют форму лепестков цветка. Он назвал розы кривой rhodonea и назвал кривую Clelia в честь графини Клелии Борромео.Полярная система координат.Положение любой точки P в пространстве (в частности, на плоскости) может быть определено при помощи той или иной системы координат. Числа (или другие символы), определяющие положение точки, называются координатами этой точки. В зависимости от целей и характера исследований выбирают различные системы координат.

Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений. Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Итак: положительным направлением отсчета углов считается направление «против часовой стрелки»

Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта – полюс, и луч, начинающийся в этой точке – полярная ось.

В фотографии.Вертикальные линии после того, как к ним применен фильтр (переводящий координаты точек из прямоугольной системы в полярную), стали расходиться из центральной точки.

На бирже.Необычный формат биржевых графиков предложил в 1990-е годы российский математик Владимир Иванович Елисеев Р –цена сделки Ф – время её совершения Используя такую систему координат, относительно просто связать градусы и время (в году 365 дней, в окружности – 360 градусов).

В военном деле
Координаты цели могут выдаваться в полярной системе координат (азимут, дальность), прямоугольной (X, Y), геодезической (широта, долгота).
У пчел.Пчелы используют полярные координаты для обмена информацией об источниках пищи. Найдя новый источник пищи, пчела-разведчица возвращается в улей и исполняет танец, на языке которого рассказывает, где находится клумба. Причём всё это похоже на двухлепестковую розу. Таким образом, пчела-разведчица сообщает другим пчелам полярные координаты нового источника пищи.
В медицине.Компьютерная томография сердца в системе полярных координат.

В системах идентификации человека
Результат преобразования кольца радужной оболочки из декартовой системы координат в полярную.
В различных областях науки и техники.Измерительный проектор предназначен для измерения различных параметров в прямоугольной и полярной системах координат. Применяется в измерительных лабораториях и цехах предприятий точного приборостроения, машиностроения, микроэлектроники, в инструментальном производстве, а также в лабораториях НИИ.

«Спираль – застывшая в танце прямая».
Архимед является выдающимся древнегреческим математиком, инженером и изобретаем своего времени. Родился он в 287 году до н.э. в городе Сиракузы на Сицилии. Отец Фидий был физиком и математиком, находящийся при дворе.

Архимед получил превосходное образование, но он понимал, что всё-таки ему недостаёт теоретических знаний, которые были даны ранее. Поэтому проводил в Александрийской библиотеке всё своё свободное время. После окончания учёбы стал работать при дворе – астрономом, создал планетарий. Так как в то время было модно изучать астрономию, то все считали, что Солнце и Луна вращаются вокруг Земли, но только Архимед предположил, что именно все планеты кружатся вокруг Солнца.

Помимо этого он изучал механику, физику и математику свои труды он изложил в своих работах «О равновесии плоских фигур», далее последовало сочинение «Об изменении круга».
У ученого много открытий, который он посветил своей родине. Ему удалось воссоздать целую рычагово-блочных механизмом, которые позволяют перевозить тяжелые грузы намного быстрее.
Так же у Архимеда существуют множество работ связанных с алгеброй, геометрией, арифметикой. Разработал всесторонний метод вычисления площадей разнообразных фигур. Создал теорию об уравновешивании равных тел.

Спираль - это винтообразная кривая, которая огибает условный центр или ось, постепенно удаляясь приближаясь к оси. Спираль-плоская кривая линия. Спиральные формы часто встречаются в природе : галактики, водовороты, и смерчи, раковины моллюсков , папиллярные линии пальцев, двойная спираль молекулы ДНК.
Существует множество видов спиралей и все они очень интересны и красивы.

Виды спиралей:
1.Плоская спираль:
1) Архимедова спираль,
2) Спираль Ферма,
3) Гиперболическая спираль,
4) Логарифмическая спираль,
5) Спираль Фиббоначчи и золотя спираль,
6) Спираль Корню.

2.Трехмерная спираль:
1) Сферическая спираль.
Теория построения Архимедовой спирали
Это плоская кривая, которая в полярной системе координат описывается очень простым уравнением: r=ф
Изобразим полярную систему координат, точка «О» - полюс, r- полярная ось, при ф=0, r=0.
Мы получим координаты полюса, затем по мере увеличения «ф» увеличится «r», то есть увеличится расстояние от точек кривой до полюса. Получаем кривую, которая называется спиралью Архимеда.

При этом, если ф>0 (принимает только положительные значения ) мы получаем правую спираль. В другой полярной системе изобразим левую спираль. Левая спираль выглядит следующим образом ф<0 (принимает только отрицательные значения) и мы получаем левую спираль. Проведем луч «А». Пусть луч «ОА» вращается вокруг точки «О». Зафиксируем точку «М», которая на начальном этапе совпадает с точкой «О». Пусть точка «М» равномерно движется вдоль луча «ОА», который вращается вокруг оси «О». Траектория движения точки «М» при этом описывает кривую, которая называется спиралью Архимеда.

Линия, которую называют спиралью Архимеда, строится в полярных координатах и определяется уравнением:
r=αφ
Здесь – это положительное число, – полярный радиус.

Применение в технике.
Спираль Архимеда в настоящее время широко используется в технике. Одно из изобретений ученого - винт (прообраз объемной спирали) - использовалось как механизм для передачи воды в оросительные каналы из низколежащих водоемов.

Спираль Архимеда и последовательность Фибоначчи:
Спираль Архимеда имеет тесную связь с последовательностью Фибоначчи. Данный закон математики описывает принцип спирали Архимеда и золотого сечения. Их тесную связь можно наблюдать у многих явлений и элементов природы - в устройстве раковины моллюсков, соцветий подсолнуха и суккулентных растений, фрактальной капусты и сосновых шишек, человека и целых галактик.

Спираль Архимеда в природе:
В природе спираль проявляется в трех основных формах: застывшей (раковины улитки), расширяющейся (изображения спиральных галактик) или сжимающейся (подобие водоворота). Спиральные формы представлены от эволюционных глубин (молекулы ДНК) до законов диалектики. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни». Спираль близка к кругу - самой идеальной форме из всех, что создала природа . Стихийные и природные элементы, имеющие форму спирали, очень распространены в природе. Это спиральные туманности, галактики, водовороты, смерчи, торнадо, устройства растений.

Перед началом работы мы провели социальный опрос для дальнейших выводов и понимания всей важности вопроса изучения данной темы, который прошли 11 человек из старшей школы. Опрос включал в себя следующие вопросы:

• Знаете ли вы о существовании Роз Гвидо Гранди?Об Архимедовой спирали?(1 вопрос)
• Как вы думаете, где могут применяться Розы Гвидо Гранди? (2 вопрос)
• А Архимедовы спирали?(3 вопрос)
• Заинтересовала ли вас данная тема?(4 вопрос)

1 вопрос: 54,5% ответили да, 45,5% ответили нет
2 вопрос: ответили в строительстве, геометрии, фотографии и математике. Так же ответили, что не знают, но очень интересно узнать.
3 вопрос: ответили в математике, технике, садоводстве.
4 вопрос: 80% ответили да, 20% ответили нет.

Из всей данной работы над исследовательским проектом по математике на тему "Замечательные математические кривые: розы и спирали" можно сделать вывод, что спирали и розы занимают важную и значимую роль в нашей жизни. Нами была приведена классификация кривых Гвидо Гранди и описаны их основные свойства. Исследовав, как изменяются кривые Гвидо Гранди, мы установили связь между количеством лепестков, их формул и симметричности получившегося рисунка.

В ходе исследовательской работы по математике "Замечательные математические кривые: розы и спирали" работы мы получили большое разнообразие форм «роз» Гвидо Гранди, которые дают фантазию для их применения. С помощью различных кривых в полярных координатах и графических редакторов мы можем сделать, например, различные рисунки, рамки-орнаменты или украсить ими фон открыток.

Без «роз» и спиралей было бы невозможно существование многих растений, животных, космических галактик. Так же без знания таких фигур люди не смогли бы воспроизводить данную красоту в архитектуре, ландшафтном дизайне и любой другой своей деятельности.

Проведя исследование на данную тему проекта, мы узнала много интересного связанного с математическими расчётами, спиралями, розами, об их значениях и проявлениях в природе и деятельности человека.

Проведя опрос, мы узнали, что многие не знают о существовании и «роз» Гвидо Гранди, и Архимедовых спиралей. Исследовательская работа помогла прийти к выводу, что всё всегда связано с окружающим нас миром, и ничего не возникает из ниоткуда.

1. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. 1960 год.(справочное руководство).
2. Гильберд Д. Наглядная геометрия. 1981 год.
3. Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия.2008 год.
4. Тайманов И.А. Лекции по дифференциальной геометрии. 2006 год.

Розы Гванди.

Спираль Ферма

Спираль Логарифмическая

Полярная роза Гридо Гранди

Вариация розы Гридо Гранди

Спираль Архимеда