В ходе работы над исследовательским проектом по математике на тему "Задачи на экстремум" учащийся 9 класса нашел наиболее эффективный с точки зрения наших физиологических и возрастных особенностей способ решения экстремальных задач.

Подробнее о проекте:

В исследовательской работе по математике на тему "Задачи на экстремум" автор изучает литературу о способах решения экстремальных задач. Особое внимание в работе уделено изучению и наглядной демонстрации способов решения классической изопериметрической задачи, задачи Дидоны. Рассматривается научная проблематика исследуемого вопроса.

В рамках выполнения проекта об экстремальных задачах представлены примеры подобных задач из настоящего и ближайшего будущего, и продемонстрированы возможные способы их решения. Во время работы над исследовательским проектом школьник ознакомился с различными авторскими подходами и изучил геометрический способ решения экстремальных задач.

Оглавление

Введение
1. Как возникают экстремальные задачи?
2. Классическая изопериметрическая задача. Задача Дидоны.
3. Примеры задач из настоящего и ближайшего будущего.
Заключение
Литература

Перед человеком постоянно возникают практические проблемы нахождения наибольшего и наименьшего, наилучшего и наихудшего. Большую часть своих усилий человек тратит на поиск  оптимального решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами, добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени.

Так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. При этом часто случается так,  что полезно прибегнуть к математике. Как правило, в задачах подобного рода достижение некоторого результата может осуществляться не единственным способом и приходится отыскивать наилучший способ достижения результата. В одной и той же задаче в разных ситуациях наилучшими могут быть совершенно разные решения. Все зависит от выбранного или заданного критерия.

В математике исследование задач на экстремум началось очень давно- двадцать пять веков назад. Математикам удалось разработать методы решения задач на экстремум, на наибольшее и наименьшее значение, или, как их еще называют, задач на оптимизацию (от латинского «оптимум» - наилучший). Многие задачи поиска оптимальных решений, могут быть решены только с использованием методов дифференциального исчисления.

Ряд задач такого типа решается с помощью специальных методов линейного программирования, но существуют и такие экстремальные задачи, которые решаются средствами элементарной математики и геометрии.   Часто удается избавиться от громоздких выкладок, обойдясь чисто геометрическими рассуждениями.

Целесообразность и актуальность данной работы очевидна, поскольку мы находимся в данный момент в условиях подготовки к сдаче  Единого Государственного Экзамена. Как нам кажется, наше желание оградить себя от лишних волнений и стрессов, сопровождающих само понятие «экзамен», вполне оправданно. Именно поэтому

Гипотеза: А существует ли связь времен и неразрывность научной дороги на пути к решению экстремальных задач? Всегда ли подобные задачи будут актуальны?

Цель работы: Изучение наиболее эффективного с точки зрения наших физиологических и возрастных особенностей способа решения экстремальных задач.

Учитывая, что в настоящее время в заданиях Единого Государственного Экзамена встречаются задачи на нахождение наименьшего и набольшего значений, которые легко решаются тем или иным  способом, задача нашей работы заключается в следующем:

1. Изучить научную проблематику данного вопроса;
2. Ознакомиться с различными авторскими подходами;
3. Изучить геометрический способ решения экстремальных задач;
4. Научиться решать подобные задачи;
5. Проанализировать целесообразность применения того или иного способа решения.

Методы работы:

1. Теоретические (анализ, синтез, интерпретация, индукция, классификация, обобщение).
2. Эмпирические (беседа или интервьюирование).

Была собрана и проанализирована информация по изучаемому вопросу, материалы периодической печати, ресурсы интернета. Эти методы позволили соотнести историю возникновения задач подобного типа, проследить связь с настоящим и будущим, выделить существенные части для специального изучения, выявить связи между ранее выделенными элементами, объединить все данные, полученные при аналитической работе, интерпретировать факты.

Людям свойственно стремление к лучшему, и если им приходится выбирать из нескольких возможностей, то желание найти среди них оптимальную представляется вполне естественным.

Задачи, где требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее и наименьшее значение, принято называть задачами «на экстремум» или задачами «на максимум и минимум». Такие задачи часто встречаются в технике и естествознании, в повседневной деятельности людей.

Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством отходов? Каких размеров должен быть ящик, что бы при заданном расходе материала его объем был наибольшим? В каком месте следует построить мост через реку, чтобы дорога, проходящая через него и соединяющая два города, была кратчайшей? На какой высоте надо повесить фонарь над центром круговой площадки радиуса a, чтобы площадка была максимально освещена у границы площадки[1].

Эти задачи имеют большое практическое значение. С их помощью можно решить важным во всяком деле вопрос, как, по словам русского математика П. Л. Че­бышева, «…располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды». Уметь решать подобные задачи очень важно, и именно по этому они привлекли наше внимание.

Решения практических задач средствами математики, как правило, содержит три основных этапа:

1. Формализацию – перевод исходной задачи на язык математики.
2. Решение полученной математической задачи.
3. Интерпретацию найденного решения – перевод его с языка математики в терминах первоначальной задачи.

Этот метод в математике называют методом математического моделирования.

Математический аппарат, применяемый при построении моделей, весьма разнообразен. Кроме классических разделов математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисление) широко используются современные разделы математики: линейное, нелинейное и динамическое программирование, аппарат теории вероятностей, дифференциальных уравнений, а в более сложных случаях используется метод статистического моделирования.

Но в ряде случаев задачи нахождения оптимального решения можно решить совсем простыми способами, проводя логические построения.

Обрабатывая различные источники информации, мы пришли к выводу, что еще в древности эти задачи волновали умы людей!

Самая простая и, вероятно, самая древняя геометрическая задача на экстремум такая: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решение её было известно древнегреческой математике. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида, где доказывается, что если рассмотреть прямоугольник и квадрат заданного периметра, то площадь квадрата будет больше.

Задачи отыскания наибольших и наименьших величин были поставлены впервые античной наукой. Самой известной из древних задач является классическая изопериметрическая задача, так называемая задача Дидоны.

Финикийская царевна Дидона (IX век до н.э.) решила организовать поселение на берегу понравившегося ей залива в Северной Африке. Она уговорила вождя местного племени отдать ей клочок земли, который можно охватить воловьей шкурой. Воины Дидоны разрезали шкуру на тонкие полоски, и Дидона охватила ремнем, составленным из этих полосок, участок земли на берегу залива. Так по легенде возник город Карфаген.

Задача Дидоны состоит в указании формы границы участка, имеющей заданную длину, при которой площадь участка максимальна. Если знать экстремальное свойство круга, то решение получается немедленно: граница участка представляет часть окружности, имеющей заданную длину. В некоторых случаях задача Дидоны имеет простое решение. Например, если береговая линия есть прямая и ограничиваемый участок прямоугольной формы, то наибольшую площадь будет иметь прямоугольник, примыкающий большей стороной к береговой линии, с длинами сторон 1/4 и 1/2 от длины периметра.

Экстремальными задачами занимались многие античные ученые (Евклид, Архимед, Аристотель и др.).

Кстати, в славянском эпосе есть задача аналогичная задаче Дидоны. Вспомним сказку, где барин говорит крестьянину: «Какой участок земли успеешь обежать с восхода до захода Солнца, он твой». Переведем эту задачу на математический язык. Она будет звучать так: Периметр участка Р км. Какую длину должны иметь стороны участка, чтобы площадь была наибольшей?

Задача 1.
Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Дан периметр фигуры равный 6 м[2]. Каковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?

Решение:

Окно будет обладать наибольшей пропускной способностью, если при заданном периметре будет иметь максимальную площадь.

Задача 2.

В Солнечной системе расположены несколько орбитальных обитаемых станций. Транспортный корабль по очереди облетает все станции, снабжая их топливом, продуктами питания и необходимым оборудованием. Требуется проложить маршрут транспортника из условия минимальных затрат энергии на доставку грузов.

С точки зрения математики задача будет сформулирована следующим образом: даны k точек, требуется найти замкнутый, состоящий из прямолинейных отрезков путь минимальной длины, связывающий эти точки.

Частный случай данной задачи, когда все точки расположены в одной плоскости, известен как задача о бродячем торговце. Точки – населенные пункты. Торговец должен обойти все их по кратчайшему маршруту. Как видим условие этой задачи очень простое. Однако эффективного решения ее (отличного от сравнения всех возможных маршрутов) все еще не найдено.

Успех развития многих областей науки и техники существенно зависит от развития направлений математики. Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений и, в конечном счете, содействует повышению производительности труда и устойчивому поступательному развитию народного хозяйства.

Экстремальные задачи помогают ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности.

Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению наших математических знаний. Эти задачи могут серьезно повлиять на содержание учебного материала, на аспекты применения положений изучаемой теории на практике.

1. Беляева Э. С., Монахов В. М. Экстремальные задачи. – М., 1977.
2. Нагибин Ф. Ф. Экстремумы. – М., 1968.
3. Натансон И. П. Простейшие задачи на максимум и минимум. – М., 1951.
4. Ченцов Н. Н., Шклярский Д. О., Яглом И. М. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум. – М.: Наука, 1970.
5. Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1997.
6. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».
7. Популярные лекции по математике.