В процессе работы над индивидуальным проектом по математике "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" ученицей 10 класса школы была поставлена и реализована цель изучить новые методы решения уравнений и неравенств. Каждый из методов был описан и продемонстрирован отдельно.

Подробнее о проекте:

В ученической исследовательской работе по математике "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" автор проводит анализ учебно-методической литературы и находит интересные сведения о способах решения неравенств и примеров с переменной. Также в проекте описаны некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" учащейся приведены характеристики таких методов решения уравнений, как метод разложения на множители, метод замены переменной, метод решения уравнений с помощью теоремы Виета и метод интервалов, а также продемонстрированы нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств, метод рационализации, учёт ОДЗ и метод мажорант.

Оглавление

Введение    
1. Теория уравнений и неравенств.
1.1 Основные понятия теории уравнений и неравенств.
1.2 Методы решения уравнений и неравенств.
1.2.1 Метод разложения на множители.
1.2.2 Метод замены переменной.
1.2.3 Метод решения уравнений с помощью теоремы Виета.
1.2.4 Метод интервалов.        
2. Нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств.
2.1 Метод рационализации.
2.2 Учёт ОДЗ.
2.3 Метод мажорант (оценки).
2.4 Использование свойств функций.
2.4.1 Использование ОДЗ.
2.4.2 Использование монотонности функции.
2.4.3 Использование графиков.
2.5 Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений.
2.5.1 Угадывание корня уравнения.
3. Разработка интерактивного тренажера «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств».
3.1 Анализ и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт.
3.2 Создание контента тренажёра.
3.3 Описание созданного продукта.
3.4 Апробация продукта.
Заключение           
Список литературы        

Данный проект посвящен решению уравнений и неравенств с помощью нестандартных методов решений. Проект является актуальным, т.к. на ЕГЭ очень важно правильно распределять и экономить время, поэтому для успешной сдачи экзамена требуются новые методы решения, обеспечивающие наиболее быстрое выполнение заданий. На занятиях математики в школе я столкнулась с такой проблемой - способы решения данных заданий, изучаемые в школе, зачастую занимают много времени, чтоговорит о нехватке знаний о наиболее оптимальных способах решения уравнений и неравенств.

Объектом исследования являются уравнения и неравенства.

Предмет исследования: некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

В начале работы над проектом была сформулирована гипотеза: благодаря новым методам решения уравнений и неравенств, удастся сократить количество шагов решения в алгоритме и снизить вероятность допущения ошибки. Исходя из этого вывода, была поставлена цель проекта: изучить новые методы решения уравнений и неравенств.

Продуктом проекта были выбраны дидактические материалы с алгоритмом решения уравнений и неравенств новыми методами и тренажёры для отработки заданий подобного типа. Для продуктивного и удобного использования тренажера необходимо установить критерии оценки продукта проекта:понятный и удобный интерфейс, наличие мобильной версии, возможность использования русского языка, возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера, тиражируемость (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования).

В процессе создания проекта были сформулированы некоторые задачи:

1. Изучить всевозможные источники информации по данной теме, структурировать собранную информацию
2. Провести опрос
3. Разработать алгоритмы решения уравнений и неравенств определенным (нестандартным) способом
4. Анализ имеющихся тренажёров, подобрать задания, решаемые нестандартным способом, решить их
5. Создать тренажёр
6. Апробировать продукт
7. Провести опрос об эффективности продукта
8. Собрать статистику
9. Распространить продукт

Методы исследования, используемые при работе над проектом: анализ, обобщение, синтез, классификация, систематизация, сравнение, прототипирование.

Научная новизна: разработаны уникальные дидактические материалы

Теоретическая значимость: расширение представления о некоторых методах решения уравнений и неравенств.

Практическая значимость: продукт проекта может быть использован учениками при подготовке к ЕГЭ, а также учителями математики.

Социальная значимость: проект может помочь ученикам 9-11 классов при подготовке к экзамену.

Прежде чем переходить к решению уравнений и неравенств, важно вспомнить теорию.

Введём список основных понятий:

Уравнение – равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти.

Корень (решение) уравнения – это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение - найти его корни или доказать, что корней нет.

Неравенство – два числа или математических выражения, соединенных одним из знаков: <, >, ≤, ≥.

Основные свойства уравнений:

• Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
• Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Решение неравенства – то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – найти все его решения или установить, что их нет.

Теперь, после перечисления основных понятий, следует вспомнить известные нам из школьной программы способы решения уравнений и неравенств.

Для разложения на множители используют формулы сокращённого умножения (ФСУ), вынесение общего множителя за скобку, способ группировки, деление многочлена на многочлен.

Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль.

Цель данного метода в том, чтобы удачным образом заменить сложное выражение, содержащее неизвестную величину, новой переменной, в результате чего уравнение принимает более простой вид. Далее полученное уравнение решается относительно новой переменной, после чего происходит возврат к исходной переменной.

Важно!!! Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Приведенное квадратное уравнение – это уравнение, в котором старший коэффициент «a = 1». В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом: х2 + px + q = 0. разница с обычным общим видом квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 в том, что в приведённом уравнении x2 + px + q = 0 коэффициент а = 1.

Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x2 + px + q = 0» гласит что справедливо следующее:

x1 + x2 = −p,

x1 · x2 = q, где x1 и x2 — корни этого уравнения.

Приведем алгоритм решения уравнений и неравенств методом рационализации:

• Нахождение ОДЗ уравнения/неравенства
• Привести данное неравенство к стандартному виду: слева дробь (или произведение), справа – ноль.
• Заменить выражения левой части на более простые, эквивалентные им по знаку.
• Решить полученное неравенство, например, методом интервалов.

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решение уравнения (или неравенства) непосредственно подстановкой чисел из ОДЗ.

Приведём алгоритм решения уравнений и неравенств методом учёта ОДЗ:

• Найти ОДЗ уравнения/неравенства.
• Подставить значение ОДЗ в исходное уравнение/неравенство, чтобы проверить, является ли оно корнем.

Этим методом можно решать нестандартные уравнения; уравнения повышенной сложности, например, уравнения в левой и правой части которой находятся функции, имеющие различную природу; уравнения или системы уравнений, в которых количество переменных превышает количество уравнений; задачи с параметром.

Метод мажорант также называют методом оценки левой и правой частей, входящих в уравнения и неравенства.

Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р, называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р.

Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции.

Приведём алгоритм решения уравнений и неравенств методом использования монотонности функции:

• Определить монотонность и область определения функции (ООФ).
• Методом подбора найти корень уравнения/неравенства.
• Исходя из монотонности функции делаем вывод о количестве корней.

При решении уравнений и неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ ещё надо обосновать.

Приведём алгоритм решения уравнений и неравенств с помощью использования графиков:

• Определить ОДЗ уравнения/неравенства.
• Представить левую и правую части уравнения/неравенства как функции и построить их графики.
• По графику определить решение уравнения/неравенства.
• Доказать справедливость ответа.

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.

Приведём алгоритм решения уравнений методом угадывания корня:

• Методом подбора определить корень уравнения.
• Найти ОДЗ уравнения.
• Привести многочлен к стандартному виду.
• Определить остальные корни уравнения.

В качестве продукта проекта был выбран интерактивный тренажер, который позволит практиковаться в решении уравнений и неравенств с помощью новых, нестандартных методов решения. Размещение тренажера на сетевой платформе позволит сделать данный продукт доступным для всех, кто хочет разобраться в этой теме.

Анализ и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт

При создании продукта были проанализированы следующие сетевые сервисы:

• LearningApps,
• Quizizz
• Wordwall,
• PurposeGames

Платформы были проанализированы по критериям:

• Понятный и удобный интерфейс сайта
• Возможность составления разнотипных заданий, для создания интересного и разнообразного контента
• Наличие мобильной версии
• Возможность использования русского языка
• Возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера
• Доступность (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования)
• В данной таблице приведены результаты оценки сетевых сервисов по выбранным критериям:

В результате сравнения сетевых сервисов по указанным критериям для создания интерактивного тренажера была выбрана платформа LearningApps, которая соответствует наибольшему количеству требований.

Во время создания проекта был проведен социальный опрос, целью

которого было подтверждение актуальности выбранной темы и определение продукта проекта, который был бы интересен для потенциальной аудитории (учеников старшей школы). В результате были опрошены 16 человек, среди которых ученики 10-11 классов и студенты.

В ходе опроса выяснилось, что 100% опрошенных часто сталкиваются с необходимостью решать уравнения и неравенства, при этом 38% из них сталкиваются с проблемами при решении таких заданий.

Также опрос показал, что самые распространенные проблемы при решении уравнений и неравенств среди учеников – проблема с выбором рационального решения и неочевидное решение.

По результатам данной статистики можно сделать вывод о справедливости выдвинутой в данном исследовании проблемы. Кроме того, большинство опрошенных высказали желание узнать новые способы решения уравнений и неравенств, а также готовы практиковаться в данной теме.

Результатами опроса подтвердился также выбор формата продукта. 75% опрошенных отметили, что им было бы удобно практиковаться в предложенной теме в формате онлайн- тренажера, что в итоге и было выбрано продуктом проекта.

В процессе размышления над идеей контента тренажёра было принято решение представить продукт, объединив теорию и тренажёры (упражнения) в одну презентацию.

Презентация. Основная задача презентации заключается в наглядном представлении алгоритмов решения уравнений/неравенств, примеров решения, а также в размещении ссылок на онлайн-тренажёры для каждого метода.

Тренажёр. Для каждого метода решения уравнений/неравенств создано несколько тренажёров (упражнений): на проработку алгоритма, проработку ключевых формул (если такие имеются) и на тренировку самого решения.

Созданный продукт, презентация – тренажер, отвечает следующим критериям:

1. Понятность информации, представленной в тренажёре
2. Удобный интерфейс
3. Эффективность упражнений для практики методов решения уравнений и неравенств
4. Тиражируемость (возможность распространения и использования)
5. Возможность бесплатного использования
6. Возможность использования русского языка
7. Наличие мобильной версии

Данный вывод о соответствии продукта заданным критериям можно сделать на основании проведённого опроса.

После создания продукта была проведена его апробация среди учеников 10-х классов и студентов ВУЗа, которая позволила провести оценку тренажёра относительно поставленных ранее критериев и ввести коррективы для его лучшей работы.

После представления тренажера были предоставлены следующие результаты опроса:

Критерии	Результаты апробации
Соответствие идее
Понятность информации
Удобный интерфейс
Эффективность

Также была проведена экспертная оценка продукта студентами ВУЗа и констатирован факт соответствия продукта определённым изначально критериям.

Вывод

Данная глава была посвящена практической части проекта. Первым делом было проведено сравнение сетевых сервисов, что помогло выбрать один из них, отвечающий всем заявленным критериям. После этого было продумано осуществление идеи тренажёра, а после – его создание. Наконец, была проведена апробация продукта, позволившая определить соответствие продукта заявленным ранее критериям.

В данной работе были исследованы некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

Для углубления знаний в данной теме были изучены некоторые учебники, математические статьи и несколько исследовательских работ. После обобщения собранной информации были составлены алгоритмы решения уравнений и неравенств некоторыми нестандартными методами, а после они были использованы на практике. Выяснилось, что решение уравнений и неравенств нестандартными способами занимает в 2 раза меньше времени, чем решение методами, изучаемыми в школе.

В ходе проекта была изменена концепция тренажёра, что позволило объединить теорию и практику в одну презентацию. Таким образом, изучение некоторых нестандартных методов решения уравнений и неравенств стало более наглядным и структурированным. Создание такого информативного, эффективного, удобного в использовании и общедоступного тренажера позволяет решить выявленную ранее проблему.

Подводя итог данной теме, стоит отметить, что использование нестандартных методов решения уравнений и неравенств, к сожалению, отодвигается на второй план, несмотря на то, что данные способы являются наиболее эффективными в решении. Именно поэтому необходимо изучать данные методы, ведь они в действительности являются незаменимыми при решении уравнений и неравенств.

Учебники:

1. Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин.
2. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: базовый и углубленный уровни. 7-е изд. М.: Просвещение, 2019. – 384 с.
3. Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин.
4. Математика: алгебра и начала математического анализа. 11 класс: базовый и профильный уровни. 2-е изд. М.: Просвещение, 2010. – 336 с.

Справочники:

1. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И.
2. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: справочник. 1997. – 219 с.

Образовательные порталы:

1. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Сдам ГИА: Решу ЕГЭ. ЕГЭ – 2021, Математика профильного уровня: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина. Задания: №13, №15.