В данном исследовательском проекте по математике на тему "Комплексные числа" авторка изучает историю возникновения комплексных чисел, даёт определение "комплексного числа", "сложение", "вычитание", "умножение".

Подробнее о проекте:

В авторском исследовательском проекте по математике "Комплексные числа" ученица 10 класса помогает ученикам своей работой расширить их математический кругозор, а также повышает интерес к самому предмету. Изучает, что такое комплексные числа и чем они отличаются от действительных, и как могут быть использованы.

Авторка творческого проекта по математике на тему "Комплексные числа" изучила литературу, посвящённую комплексным числам, а также историю числовых множеств и конкретно комплексных чисвел.

Оглавление

Введение
1. История возникновения комплексных чисел
2. Развитие понятия числа
3. Развитие комплексных чисел
4. Комплексные числа
5. Разработка онлайн-курса «Магия комплексных чисел»
6. Анализ онлайн-платформ
7. Характеристика онлайн-платформы GeoGebra
8. Структура онлайн-курса
9. Апробация продукта
Заключение
Список литературы

Актуальность: комплексные числа – важнейшая тема курса математики. Она не только имеет большое значение в современной науке, но и входит в программу обучения большинства ВУЗов, в том числе и без технической направленности.

Решаемая проблема: Знания школьников о числовых множествах ограничиваются действительными числами, а это влияет как на решение конкретных задач, так и на уровень кругозора в целом.

Цель проекта: узнать, что такое комплексные числа, чем они отличаются от действительных и как могут быть использованы.

Социальная значимость проекта: работа поможет ученикам расширить свой математический кругозор, а также может повысить интерес к самому предмету.

Данный проект посвящен изучению комплексных чисел. Актуальность исследования обусловлена тем, что комплексные числа – важнейшая тема курса математики. Она не только имеет большое значение в современной науке, но и входит в программу обучения большинства ВУЗов, в том числе и без технической направленности. Несмотря на это, первое ознакомление с темой происходит только на последнем году школьного обучения, в 11 классе.

Кроме того, данной темы нет в Едином Государственном Экзамене, а значит есть риск, что время, выделенное на изучение комплексных чисел, теоретически может быть сокращено в пользу подготовки выпускников к экзамену. В таком случае школьники ознакомятся с этой важной и интересной темой лишь поверхностно. В этом и состоит проблема исследования: знания школьников о числовых множествах ограничиваются действительными числами, а это сказывается и на решении конкретных задач, так и на математическом кругозоре учеников. Объектом исследования являются комплексные числа. Предмет исследования – их свойства, возможные операции, отличия от действительных чисел и применение.

Цель исследования: узнать, что такое комплексные числа, чем они отличаются от действительных и как могут быть использованы.

Методы исследования: анализ, синтез, обобщение, сравнение, анкетирование.

В качестве продукта проекта был выбран обучающий курс, который позволит наглядно представить информацию по теме и сделать ее доступной для всех интересующихся. Кроме наглядности и доступности, он должен соответствовать следующим критериям: работа поможет ученикам расширить свой математический кругозор, а также может повысить интерес к самому предмету.

В процессе работы над проектом были поставлены следующие задачи:

1. Изучить историю числовых множеств и конкретно комплексных чисел
2. Изучить литературу, посвященную комплексным числам
3. Составить план курса в соответствии с критериями оценки продукта
4. Изложить проанализированную информацию в обучающем курсе
5. Провести апробацию продукта
6. Предоставить результаты работы

Научная новизна проекта состоит в том, что в ходе работы предполагается создание уникального материала по теме «Комплексные числа».

Социальная значимость проекта состоит в том, что работа поможет ученикам расширить свой математический кругозор, а также может повысить интерес к самому предмету.

Развитие понятия числа

История развития чисел началась с появления натуральных чисел. Во втором тысячелетии до нашей эры в Древнем Египте и Древнем Вавилоне в практических расчетах начали применять дроби. Важным этапом в развитии понятия числа стало введение отрицательных чисел. Это было сделано китайскими математиками во II веке до н.э. В III веке н.э. их применял древнегреческий математик Диофант, знавший правила действий над ними.

В VII веке н.э. отрицательные числа были подробно изучены индийскими математиками, которые сравнивали такие числа с долгом. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения: положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел он неизвлекаем.
В связи с изучением кубических уравнений в XVI веке появилась потребность в извлечении квадратных корней из отрицательных чисел. В то время итальянским ученым Дж.

В случае, если уравнение имеет единственный действительный корень, проблем не возникает. При этом если уравнение имеет три, пусть и действительных, корня, для их нахождения потребуется извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Таким образом перед математиками встала проблема: почему для получения действительных корней уравнения требуется применение невозможной операции извлечения корня из отрицательного числа? Для ее решения в 1545 г.

Развитие комплексных чисел

Изначально новые числа были восприняты с настороженностью, а некоторые математики считали, что результаты исследований, полученные с их помощью, недостоверны и требуют дополнительных доказательств. Несмотря на это изучение чисел продолжалось, и в 1572 г. итальянский математик Р. Бомбелли установил первые правила арифметических операций. В 1637 году Р. Декарт ввел название «мнимые числа», а в 1777 г. Л. Эйлером был введен символ (первая буква фр. Imaginaire – «мнимый»). Во всеобщее употребление символ вошел благодаря К. Гауссу.

Со временем комплексные числа развивались и применялись математиками все чаще. В 1748 г. Л. Эйлер вывел формулу, которая связывает показательную и тригонометрические функции. Кроме этого, она позволяет находить синусы и косинусы от комплексных чисел, вычислять их логарифмы, т.е. строить теорию функций комплексного переменного.

К концу XVIII века комплексные числа полностью вошли в обиход математиков. Их начали применять для выражения корней линейных дифференциальных уравнений с целыми коэффициентами, которые встречаются в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Швейцарский математик Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. В течение XVIII века с их помощью были решены многие прикладные задачи, связанные с картографией и гидродинамикой, но только к началу XIX века было получено геометрическое изображение комплексных чисел.

Независимо друг от друга математики Г. Вессель, Ж. Арган и К. Гаусс предложили представлять комплексные числа точками на плоскости. Позднее оказалось, что комплексному числу удобнее сопоставить вектор, выходящий из начала координат. Геометрическое представление еще более расширило область применения комплексных чисел. Их стали применять в вопросах, где величины также изображаются векторами на плоскости, т.е. при изучении течения жидкости, в задачах теории упругости.
В советском союзе изучением теории функции комплексного переменного занимались ученые Н. И. Мусхелишвили, М. В. Келдыш, М. А. Лаврентьев. Н. Н Боголюбов и В. С. Владимиров занимались ее применением в квантовой теории поля.

В данной главе рассмотрена история развития комплексных чисел и числовых множеств в целом. Объясняется, что привело к введению новых чисел, т. е. для чего они использовались изначально, а также перечислены некоторые из задач, решенных с позже с их использованием. В главе упоминаются известные ученые, в разные эпохи принимавшие участие в развитии комплексных чисел и теорий, связанных с ними. В результате становится ясно, что введение нового числового множества – постепенный процесс, но в современном мире комплексные числа бесспорно занимают большое место в работах не только математиков, но и физиков.

Разработка онлайн-курса «Магия комплексных чисел»

В ходе работы над проектом был проведен опрос среди студентов нижегородского педагогического университета имени Минина и учеников профильных 10 и 11 классов школы №186 г. Н. Новгорода. Результаты опроса показали, что большинство участников поддерживают идею создания обучающего курса. Также в опрос был включен вариант с созданием продукта проекта на сайте geogebra.org, который выбрали 28% участников.

В итоге было принято решение о создании обучающего курса «Магия комплексных чисел». В таблице приведена сравнительная характеристика онлайн-платформ, где возможно размещение продукта.

	wizer. me	geogebra. org	wordwall.net	quizizz. com
Возможность добавлять свои материалы	+	+	+	+
Обязательная регистрация	+	-	+	-
Бесплатность	-	+	-	+
Возможность размещать как теоретический материал, так и задания	+	+	-	-
Наглядность представления информации	+	+	Возможно представление только в виде тестовых заданий	Возможно представление только в виде тестовых заданий
Структурированность представления информации	Возможно создание краткого конспекта	+	Возможно представление только в виде тестовых заданий	Возможно представление только в виде тестовых заданий

Характеристика онлайн-платформы GeoGebra

В ответе на вопрос «Как вы считаете, какими качествами должен обладать учебный материал, чтобы его было удобно использовать при изучении темы?» многие участники опроса отметили, что материал должен быть наглядным, хорошо структурированным и понятным.

В соответствии с требованиями был выбран сетевой сервис GeoGebra (https://www.geogebra.org/). Ниже представлена характеристика сайта.

Преимущества:

• Удобный, понятный интерфейс. Интерфейс сайта схож с интерфейсами популярных соцсетей, поэтому управление будет интуитивно понятно большинству пользователей.
• Интерактивность и наглядность. Сервис позволяет вставлять в текст интерактивные рисунки (графики, схемы, построения). Пользователь получает возможность самостоятельно изменять иллюстрацию, созданную автором. Такой способ подачи материала является более наглядным, чем статичные схемы.
• Наличие мобильной версии сайта.
• Широкий функционал. На сайте доступно как создание больших документов, содержащих текст, различные чертежи и т.д., так и небольших узконаправленных записей.
• Возможность логично и последовательно представить информацию. Сайт позволяет структурировать крупные документы. Для навигации по документу доступно оглавление.

Недостатки:

• Часть интерфейса недоступна на русском языке.

Структура онлайн-курса

Раздел	Наполнение	Взаимодействие с пользователем
Определение комплексного числа	Определение	График: вектор, обозначающий комплексное число, значение модуля этого числа
Изображение на плоскости
Модуль числа, модуль суммы и сумма модулей
Формы записи комплексного числа	Алгебраическая форма записи	График: вектор, обозначающий комплексное число, значение аргумента этого числа, связь аргумента с координатами
Аргумент комплексного числа
Тригонометрическая форма записи, ее применение
Показательная форма записи, ее применение
Арифметические действия	Сложение, вычитание	График суммы и разности двух комплексных чисел
	Умножение	График произведения комплексных чисел
	Деление	График частного двух комплексных чисел
	Возведение в степень, извлечение корня	Визуализация возведения комплексного числа в целочисленную степень

Апробация продукта

После создания продукта была проведена апробация на группе школьников 10 класса. Аудитории была представлена основная информация о продукте, ученики ознакомились с курсом и оставили отзывы о результатах работы. В таблице ниже приведены результаты опроса группы учеников.

Результаты опроса показывают, что готовый продукт соответствует заявленным критериям. Кроме этого, участники теста отметили, что смогут использовать курс при изучении темы в 11 классе.

Заключение

В ходе работы над исследовательским проектом был создан обучающий курс по теме «Комплексные числа». Он должен помочь решить проблему исследования, состоявшую в том, что школьники плохо или совсем не знакомы с данной темой. Таким образом, была выполнена и цель исследовательской работы: проведен анализ литературы по теме и составлен онлайн-курс. Согласно результатам апробации, итоговый продукт соответствует критериям оценки, а также будет использоваться учениками при изучении комплексных чисел. Это еще раз доказывает возможность решения проблемы исследования с помощью данного продукта.

Список литературы:

• Алгебра и геометрия комплексных чисел [Статья] / авт. А. Канунников // Квант. - Май 2017 г.. - стр. 28-31, 34.
• Алгебра и начала математического анализа. 11 класс [Книга] / авт. Колягин Ю. М. Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.. - [б.м.] : Издательство "Просвещение", 2010.
• Алгебра и начала математического анализа. 11 класс [Книга] / авт. Никольский С. М. Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.. - [б.м.] : Издательство "Просвещение", 2009.
• Алгебра и начала математического анализа. 11 класс [Книга] / авт. Пратусевич М. Я. Столбов К. М., Головин А. Н.. - [б.м.] : Издательство "Просвещение", 2010.
• Гиперкомплексные числа [Книга] / авт. Кантор И. Л. Солодовников А. С.. - [б.м.] : Издательство "Наука", 1973.
• Изучение комплексных чисел в общеобразовательной школе [Статья] / авт. Жмурова И. Ю. Баринова С. В. // "Молодой ученый". - Январь 2020 г.. - стр. 312-314.
• Комплексные числа [Статья] / авт. С. Дориченко // Квант. - Сентябрь/Октябрь 2008 г.. - стр. 11-18.
• Комплексные числа [Статья] / авт. Ю. Соловьев // Квант. - 1991 г.. - №7. - стр. 47-54.
• Комплексные числа [Статья] / авт. Ю. Соловьев // Квант. - 1991 г.. - №7. - стр. 47-54.
• Магия комплексных чисел [Статья] / авт. А. Канунников // Квант. - Май 2017 г.. - стр. 5-11.
• Энциклопедический словарь юного математика [Книга] / авт. Савин А. П.. - [б.м.] : Издательство "Педагогика", 1989.
• Энциклопедия для детей [Книга] / авт. Д. Аксенова М.. - [б.м.] : Издательский центр "Аванта+", 1998.