В ходе работы над исследовательским проектом по математике на тему "Теорема Виета в уравнениях N-степени" учащаяся 10 класса определила спектр задач, которые нужно уметь решать в данной теме, составила алгоритмы решения уравнений и связанных с ними задач с помощью т. Виета.

Подробнее о проекте:

В исследовательской работе по математике на тему "Теорема Виета в уравнениях N-степени" авторка изучает литературу о применении теоремы Виета в решении уравнений n-степени, а также анализирует тренажёры, предлагаемые в интернете, выбирает платформу для создания интерактивного тренажёра.

В рамках выполнения проекта о теореме Виета представлено применение теоремы Виета в решении уравнений и задач, примеры задач с параметром, а также методы, применяемые при решении уравнений 3 и 4 степени. Была произведена разработка интерактивного тренажера «Теорема Виета в уравнениях 3 и 4 степени», анализ тренажеров и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт.

Оглавление

Введение
1. Основные теоретические сведения
2. Основные понятия
3. Методы, применяемые при решении уравнений 3 и 4 степени
4. Теорема Виета в решении уравнений n степени
Выводы по главе
5. Задачи, решаемые с использованием теоремы Виета
6. Применение теоремы Виета в решении уравнений и задач
7. Примеры решения уравнений и задач
8. Примеры решения задач с параметром
Выводы по главе
9. Разработка интерактивного тренажера «Теорема Виета в уравнениях 3 и 4 степени»
10. Анализ тренажеров и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт
11. Создание контента тренажера
12. Апробация продукта
Заключение
Список литературы

Актуальность: в заданиях ЕГЭ и олимпиадных задачах часто встречается необходимость решать уравнения n степени и задачи, связанные с ними.

Решаемая проблема: нам часто приходится решать уравнения n степени и связанные с ними задачи, но некоторым способам их решения уделяется недостаточно внимания при изучении, из-за чего они не используются учениками.

Цель проекта: изучить применение теоремы Виета для решения уравнений n степени.

Социальная значимость проекта: данный проект может быть полезен ученикам старшей школы при решении уравнений степени выше 2.

Продукт: интерактивный тренажёр. Критерии: понятность, удобный интерфейс, доступность, бесплатность.

Данный проект посвящен решению уравнений n степени с помощью теоремы Виета. Проект является актуальным, т.к. в заданиях ЕГЭ и олимпиадных задачах часто встречается необходимость решать уравнения n степени и задачи, связанные с ними. При выполнении различных заданий на уроках математики я столкнулась с проблемой, что нам часто приходится решать уравнения n степени и различные основанные на них задачи, но некоторым способам их решения уделяется недостаточно внимания при изучении, из-за чего они не используются учениками.

Объектом исследования данного проекта являются уравнения. Предмет исследования: способы решения уравнений.

Также была поставлена цель: изучить применение теоремы Виета для решения уравнений n степени.

Для дополнительной практики в данной теме продуктом проекта был выбран интерактивный тренажер. Для удобного и продуктивного использования тренажера необходимо установить критерии оценки продукта: понятность предоставляемой информации, удобный интерфейс, доступность, бесплатность.

После была сформулирована гипотеза, что использование тренажера позволит ученикам самостоятельно научиться применять теорему Виета при решении уравнений n степени.

В процессе создания проекта были поставлены некоторые задачи:

1. изучить литературу о применении теоремы Виета в решении уравнений n степени;
2. определить спектр задач, которые нужно уметь решать в данной теме;
3. составить алгоритмы решения уравнений и связанных с ними задач с помощью теоремы Виета;
4. проанализировать тренажёры, предлагаемые в Интернете;
5. выбрать платформу для создания интерактивного тренажера;
6. составить тренажер по заданным критериям;
7. апробировать тренажёр, сравнить с заданными критериями;
8. отредактировать недочеты;
9. провести предзащиту;
10. защитить проект.

Методы исследования, используемые при работе над проектом: изучение и обобщение, анализ, сравнение, анкетирование.

Научная новизна: в результате работы над проектом был создан уникальный интерактивный тренажер для практики в решении уравнений n степени с помощью теоремы Виета.

Теоретическая значимость: был разработан алгоритм решения уравнений 3 и 4 степени с применением теоремы Виета.

Практическая значимость: созданный тренажер может использоваться учениками для дополнительного изучения данной темы и подготовки к ЕГЭ, а также учителями.

Социальная значимость: данный проект может быть полезен ученикам старшей школы при решении уравнений степени выше 2.

• Основные теоретические сведения

В этой главе будут рассмотрены основные понятия и различные методы, которые используются при решении уравнений n степени.

Основные понятия темы

Для начала обратим внимание на основные понятия, связанные с данной темой:

• уравнение- математическое равенство, содержащее неизвестные величины;
• корень уравнения- значение переменной, при котором данное равенство обращается в верное;
• переменная- величина, которая может изменять своё (как правило, численное) значение;
• решить уравнение- найти все значения переменных, при которых выполняется равенство, или доказать, что их нет.

Методы, применяемые при решении уравнений n-степени

Приведем алгоритм деления многочлена на двучлен с помощью схемы Горнера:

1. записать многочлен в стандартном виде;
2. выразить из двучлена x (x=a);
3. записать в первой строке таблицы коэффициенты многочлена в порядке убывания (an, an-1, …, a1, a0);
4. заполнить таблицу по правилу.

Задание:

Выполнить деление многочленов по схеме Горнера.

Ещё одним методом, применяемым при решении уравнений n степени является теорема Безу. Подобная теорема, по сути, была сформулирована ещё в 1687 году Исааком Ньютоном в первом томе его труда «Математические начала натуральной философии». Позднее, в 1779 году, эта теорема была опубликована французским математиком Этьеном Безу. Формулировка теоремы Безу: остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x-a равен значению этого многочлена при x= a.

Разберем алгоритм нахождения остатка от деления многочлена на двучлен с помощью теоремы Безу:

1. записать многочлен в стандартном виде;
2. определить, чему равно a;
3. посчитать значение многочлена P(a);
4. получить остаток R=P(a) (если R=0, то многочлен P(x) делится на двучлен x-a, и a- корень многочлена).

Выводы по главе:

В данной главе были разобраны некоторые методы решения уравнений n степени (схема Горнера, теорема Безу, метод решения возвратных уравнений), которые часто используются на практике, а также доказательства теоремы Виета для уравнений 3 и 4 степени. Рассмотренные методы достаточно просты в применении и всегда позволяют прийти к верному результату.

• Задачи, решаемые с использованием теоремы Виета

В данной главе будут рассмотрены примеры и способы решения различных задач, в основе которых лежат уравнения 3 и 4 степени, с использованием теоремы Виета.

Применение теоремы Виета в решении уравнений и задач

Для начала необходимо отметить, что применение теоремы Виета для уравнений 3 и 4 степени разумно, если задано некоторое условие на корни многочлена.

Решая задачи на нахождение значений выражений, зависящих от корней многочлена, с применением теоремы Виета, стоит обратить внимание на то, что эти выражения не изменяются при перестановке корней, следовательно, они являются симметрическими многочленами, в которых переменными служат обозначения корней многочлена.

Таким образом, значение любого симметрического многочлена от n переменных, где вместо переменных подставлены все корни данного многочлена n-й степени, может быть выражено только через коэффициенты данного многочлена. Следовательно, в решении задач, связанных с корнями уравнений n степени, нужно стремиться представить данный многочлен через основные симметрические многочлены.

Рассмотрим основные шаги решения подобных задач:

1. определить степень многочлена;
2. записать теорему Виета для выражения необходимой степени;
3. представить данный многочлен через основные симметрические многочлены;
4. вычислить необходимые значения;
5. записать ответ.

Отдельно выделим алгоритм решения системы уравнений, представляющих собой элементарные симметрические многочлены:

1. используя уравнения системы и формулы Виета составить уравнение (корни полученного уравнения будут решениями исходной системы);
2. разложить многочлен на множители;
3. найти корни уравнения;
4. записать ответ.

Теорема Виета также применяется в решении уравнений, но необходимо отметить, что данный способ применим только к уравнениям, имеющим целые корни.

Выводы по главе:

Данная глава была посвящена задачам, решаемым с использованием теоремы Виета. Рассматривая предложенные задачи, можно сделать вывод о том, насколько велико их разнообразие. Формулы Виета позволяют решать системы уравнений, содержащие основные симметрические многочлены, находить корни уравнения при наличии некоторых дополнительных условий, составлять новые уравнения.

Разработка интерактивного тренажера “Теорема Виета в уравнениях 3 и 4 степени”

В качестве продукта проекта был выбран интерактивный тренажер, который позволит попрактиковаться в решении уравнений 3 и 4 степени с помощью теоремы Виета. Размещение тренажера на сетевой платформе позволит сделать данный продукт доступным для всех, кто хочет разобраться в этой теме.

Анализ и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт

При создании продукта были проанализированы следующие сетевые сервисы:

• LearningApps
• Quizizz
• Wordwall
• PurposeGames
• Wizer .me

Платформы были проанализированы по критериям:

• интуитивно понятный и удобный в использовании интерфейс сайта;
• возможность составления разнотипных заданий, для создания интересного и разнообразного контента;
• возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера;
• доступность (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования);
• наличие мобильной версии;
• возможность использования русского языка.

В данной таблице приведены результаты оценки сетевых сервисов по выбранным критериям:

	Критерии
Сетевой сервис	Интерфейс	Разнообразие шаблонов	Бесплатность
LearningApps	+	+	+
Quizizz	+	-	+
Wordwall	+	+	-
PurposeGames	+	+	+
Wizer .me	+	+	+

	Критерии
Сетевой сервис	Доступность	Мобильная версия	Русский язык
LearningApps	+	-	+
Quizizz	+	+	-
Wordwall	+	+	+
PurposeGames	+	+	-
Wizer.me	+	+	-

В результате сравнения сетевых сервисов по указанным критериям для создания интерактивного тренажера был выбран сервис Wizer.me, который позволяет создавать уникальные рабочие листы для практики.

Создание контента тренажера

После анализа различных типов задач, решаемых с помощью теоремы Виета, были выделены несколько основных умений, необходимых для успешного выполнения подобных заданий:

• подбор корней уравнения;
• составление системы уравнений для данного многочлена;
• представление многочленов через основные симметрические многочлены путем равносильных преобразований;
• составление уравнения по данным системы, уравнения которой являются основными симметрическими многочленами.

Задания для отработки указанных выше умений были заложены в тренажер.

Апробация продукта

После создания тренажера проводилась его апробация, которая позволила оценить соответствие продукта поставленным критериям. Тренажер был предложен для апробации ученикам 10 класса.

В результате опроса также выяснилось, что после выполнения заданий тренажера ученики готовы применять полученные знания при решении заданий ЕГЭ и олимпиадных задач, а сам тренажер был для них полезен и интересен.

Выводы по главе:

Данная глава была посвящена практической части данного проекта. В первую очередь было проведено сравнение нескольких сетевых сервисов и выбран один, наиболее соответствующий обозначенным ранее критериям. Далее были выделены основные умения, задания для отработки которых были вложены в тренажер. Затем была проведена апробация созданного продукта, и сделаны выводы о соответствии созданного тренажера заданным критериям.

Заключение:

В данной работе были исследованы уравнения 3 и 4 степени и способы их решения. Также были рассмотрены универсальные методы решения уравнений n степени.

Для углубления знаний в исследуемой теме были проанализированы несколько учебников, изучен рад математических статей. После обобщения полученной информации были составлены основные алгоритмы решения уравнений n степени. Так были выполнены поставленные задачи.

В ходе работы над проектом были рассмотрены способы применения теоремы Виета в решении уравнений n степени, рассмотрены различные уравнения и задачи, цель проекта достигнута.

Отдельно рассматривалось применение теоремы Виета в решении уравнений и задач. Был создан интерактивный тренажер, который позволяет ученикам самостоятельно разобраться в описываемой теме. Таким образом, гипотеза проекта подтверждена.

В ходе работы над практической составляющей проекта был создан интерактивный тренажер, который позволяет всем желающим разобраться и попрактиковаться в рассматриваемой теме. Создание такого общедоступного, информативного, удобного в использовании тренажера позволяет решить выявленную ранее проблему.

Подводя краткий итог описываемой теме, стоит сказать, что формулы Виета незаслуженно забываются людьми при решении уравнений. Хочется отметить, что теорема Виета действительно является незаменимой для решения уравнений разных степеней.

Список литературы:

1. Михайлова Ж. Н. Алгоритмы- ключ к решению задач: Алгебра. 7-9 классы. СПб.: Издательский дом «Литера», 2017. – 488 с.
2. Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: базовый и углубленный уровни. М.: Просвещение, 2019. – 384 с.
3. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: базовый и углубленный уровни. М.: Просвещение, 2019. – 431 с.
4. Пратусевич М. Я., Столбов К. М., Головин А. Н. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: профильный уровень. М.: Просвещение, 2009. – 415 с.
5. Пратусевич М. Я., Столбов К. М., Соломин В. Н., Головин А. Н. Алгебра и начала математического анализа. Методические рекомендации. 10 класс: углубленный уровень. М.: Просвещение, 2017. – 301 с.
6. Шабулин М. И., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Доброва О. Н. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Колягина Ю. М. и других. 10 класс: базовый и углубленный уровни. М.: Просвещение, 2019. – 142 с.