Проект по математике "Симметрия вокруг нас"

В ходе работы над индивидуальным исследовательским проектом по математике ученик 8 класса исследует примеры на тему симметрии, окружающие его, формирует представление о симметрии через рассмотрение ее классов. Также исследуется принцип симметрии в природе и в архитектуре, в дизайне и в технологии, а также в логотипах и в быту.

Данная исследовательская работа по математике на тему «Симметрия вокруг нас» будет полезной для учащихся как старших, так и начальных классов, а составленные буклеты по темам «Симметрия в математике» и «Симметрия в жизни» будут хорошим дополнениям к урокам математики и окружающего мира.

В восьмом классе на уроках геометрии мы познакомились с понятиями осевая и центральная симметрия. Мы учились строить фигуры, симметричные относительно точки и прямой. Мы узнали, какие фигуры обладают осевой и центральной симметрией..

Меня заинтересовала эта тема, и я решил написать по ней проект. Я хочу узнать всё ли мы изучили из курса математики или нет, узнать значение симметрии в мире, а также в подробностях рассказать все о симметрии.

Цель проекта: сформировать представление о симметрии через анализ имеющихся уже знаний, и узнать ее значение в мире.

Методы и приемы:

• поиск информации в источниках, справочниках
• работа с ресурсами Internet
• обработка и анализ информации

Полученные данные были обобщены и систематизированы. Затем разработан целостный окончательный вариант информационного проекта, составлен буклет по теме проекта.

Оглавление

Аннотация
Введение

1. История возникновения симметрии
2. Симметрия в математике

2.1. Центральная симметрия
2.2. Симметрия вращения
2.3. Осевая симметрия
2.4. Зеркальная симметрия

3. Симметрия в жизни

Заключение
Список использованных интернет-источников и литературы
Приложение 1
Приложение 2

«Симметрия» (от греческого symmetria - «соразмерность») - понятие, означающее сохраняемость, повторяемость, «инвариантность» каких-либо особенностей структуры изучаемого объекта при проведении с ним определенных преобразований». В древности слово «симметрия» употреблялось как «гармония», «красота».

Существуют две группы симметрий. К первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.

Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией.

Я остановлюсь на изучении геометрической симметрии. В свою очередь, геометрической симметрии существует тоже несколько видов: центральная, осевая, зеркальная (симметрия относительно плоскости), радиальная (или поворотная), переносная и другие. Я рассмотрю сегодня 4 вида симметрии: центральная, осевая, зеркальная, поворотная.

Цель:

• Подробно рассмотреть виды симметрий.
• Изучить виды симметрий вокруг нас.

Задачи:

1. Найти и обобщить информацию о видах симметрии и где они могут встречаться в повседневной жизни.
2. Провести анализ и систематизацию собранной информации.
3. Составить буклет по теме: «Симметрия в математике» и «Симметрия в жизни».

Ожидаемые результаты:  в ходе изучения данной работы я реально смогу оценить свой интеллектуальный потенциал, расширить свой кругозор, заинтересоваться математикой и историей ее развития, соответственно, в будущем определиться с выбором профессии. Я смогу создать проектный продукт по исследуемой теме в форме буклета для учеников 8 класса, что позволит мне и ученикам 8-ых классов компенсировать недостаточность знаний по этому вопросу.

Считаю свою работу перспективной, так как в дальнейшем этим материалом могут воспользоваться и ученики для повышения математической грамотности,  и учителям на факультативных занятиях.

Представители первой научной школы в истории человечества, последователи Пифагора (приложение 1.1) Самосского, пытались связать симметрию с числом. Каждой вещи, учили пифагорейцы, соответствует определенное отношение чисел, которое они называли логосом. Пифагорейцы предпочитали вместо слова «симметрии» пользоваться словом «гармония».

Широко используя идею гармонии и симметрии, ученые древности любили обращаться не только к сферическим формам, но и к правильным многогранникам. У правильных многогранников грани – правильные многоугольники одного вида, а углы между гранями равны. Древние греки установили, что существует всего пять правильных выпуклых многогранников, название которых связаны с числом граней, - тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр. Все правильные многогранники обладают зеркальной симметрией.

Познавательную силу симметрии оценили философы Древней Греции, используя ее в своих натурфилософских теориях. Так, например, Анаксимандр из Милета(приложение 1.2), живший в первой половине VI в. до н. э., использовал симметрию в своей космологической теории, где в центре мира поместил Землю — главное, по его мнению, тело мира. Она должна была иметь совершенную, симметричную форму, форму цилиндра, а на периферии вращаются огромные огненные кольца, закрытые воздушными облаками и дырками, которые и кажутся нам звездами. Земля расположена точно в центре, и здесь симметрия имеет смысл равновесия.

Весы известны человеку с III в. до н. э. В состоянии равновесия массы грузов на разных концах коромысла одинаковы — положение коромысла симметрично относительно центра тяжести. Симметрия — это не только равновесие, но и покой: стоит добавить на одну из чашек весов дополнительный груз, как они придут в движение. Нарушено равновесие, исчезла симметрия — появилось движение.

В науку симметрия вошла в 30-х гг. XIX в. в связи с открытием Гесселем (приложение 1.3) 32 кристаллографических классов и появлением теории групп как области чистой математики. Кристаллы наделены наибольшей величиной симметрии из всех реальных объектов. Симметричной в кристаллографии считается фигура, которая делится без остатка на равные и одинаково расположенные части.

Э. Галуа классифицировал алгебраические уравнения по их группам симметрии. Ф. Клейн (приложение 1.4) предложил взять идею симметрии в качестве единого принципа при построении различных геометрий. Выйдя за пределы геометрии, эта идея, развиваясь, сделала очевидным тот факт, что принцип симметрии служит той единственной основой, которая может объединить все разрозненные части огромного здания современной математики. Клейн развил свою концепцию в физике и механике. Программа Клейна как задача поиска различных форм симметрии выходит за рамки не только геометрии, но и всей математики в целом, превращается в проблему поиска единого принципа для всего естествознания.

Понятие центральной симметрии следующее: «Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры». Поэтому говорят, что фигура обладает центральной симметрией.

Понятия центра симметрии в «Начала х» Евклида нет, однако в 38-ом предложении XI книги содержится понятие пространственной оси симметрии. Впервые понятие центра симметрии встречается в XVI в. В одной из теорем Клавиуса, гласящей: «если параллелепипед рассекается плоскостью, проходящей через центр, то он разбивается пополам и, наоборот, если параллелепипед рассекается пополам, то плоскость проходит через центр». Лежандр, который впервые ввёл в элементарную геометрию элементы учения о симметрии, показывает, что у прямого параллелепипеда имеются 3 плоскости симметрии, перпендикулярные к ребрам, а у куба 9 плоскостей симметрии, из которых 3 перпендикулярны к рёбрам, а другие 6 проходят через диагонали граней .

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма – точка пересечения его диагоналей. Любая прямая также обладает центральной симметрией. Однако, в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии, у прямой их бесконечно много – любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник.

В других источниках определение центральной симметрии раскрывается следующим образом: геометрическая фигура (или тело) называется симметричной относительно центра C, если для каждой точки A этой фигуры может быть найдена точка E этой же фигуры, так что отрезок AE проходит через центр C и делится в этой точке пополам (AC = CE). Точка C называется центром симметрии. Фигура ABCDE составлена из двух треугольников АВС и EDC, у которых стороны попарно равны и служат продолжением друг друга, обладает центром симметрии С .

Между соответствующими парами точек всегда лежат равные отрезки; соответствующие друг другу углы двух половин тела, обладающего центральной симметрией, тоже равны. Две половины тела с центральной симметрией не могут накладываться одна на другую, как и две половины тела, обладающие зеркальной симметрией. Более того, одну из половин тела с центральной симметрией можно поворотом на 180º поставить в зеркально симметричное положение. Поэтому две половины тела с центральной симметрией зеркально равны друг другу.

Две центрально симметричные плоские фигуры всегда можно наложить друг на друга, не выводя их из общей плоскости. Для этого достаточно одну из них повернуть на угол 180° около центра симметрии.

Как в случае зеркальной, так и в случае центральной симметрии плоская фигура непременно имеет ось симметрии второго порядка, но в первом случае эта ось лежит в плоскости фигуры, а во втором – перпендикулярна к этой плоскости.
Правило: Точки А1 и А2 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка А1А2 (рис.1.1)

Рис.1.1
Точка О считается симметричной самой себе.

Тело (или фигура) обладает симметрией вращения, если при повороте на угол 360º/n, где n целое число, около некоторой прямой АВ (ось симметрии) оно полностью совмещается со своим исходным положением. Если число n равно 2, 3, 4 и т.д., то ось симметрии называется осью второго, третьего и т.д. порядка.

Например, если мы разрежем круг на три части с центральными углами по 120º, наложим эти секторы друг на друга (не переворачивая их другой стороной) и прорежем на них фигуру, а произвольной формы, то, сложив снова части так, как они лежали, получим фигуру (круг с дырочками), обладающую осью симметрии 3-его порядка. Эта ось перпендикулярна к плоскости чертежа. Поворотом на 120º фигура полностью совмещается со своим исходным положением.

Правильная пятиугольная призма имеет плоскость симметрии, идущую параллельно основаниям на равном от них расстоянии, и ось симметрии пятого порядка, совпадающую с осью призмы. Плоскостью симметрии может также служить плоскость, делящая пополам один из двугранных углов, образуемых боковыми гранями.

Правило: Если фигура отображается на себя при некотором повороте (в частности, центральной симметрии), то говорят, что фигура обладает поворотной (в частности, центральной) симметрией. Так равносторонний треугольник обладает поворотными симметриями вокруг центра треугольника на 120 по часовой и против часовой стрелки (рис.2.1)

Понятие осевой симметрии представлено следующим образом: «Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры». Тогда говорят, что фигура обладает осевой симметрией.

В более узком смысле осью симметрии называют ось симметрии второго порядка и говорят об «осевой симметрии», которую можно определить так: фигура (или тело) обладает осевой симметрией относительно некоторой оси, если каждой её точке Е соответствует такая принадлежащая этой же фигуре точка F, что отрезок EF перпендикулярен к оси, пересекает её и в точке пересечения делится пополам. Рассмотренная выше пара треугольников обладает (кроме центральной) еще осевой симметрией. Её ось симметрии проходит через точку С перпендикулярно к плоскости чертежа.

Приведу примеры фигур, обладающих осевой симметрией. У неразвернутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник — три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат— четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много — любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник
Правило: Если прямая а проходит через середину отрезка А1А2 и перпендикулярна к нему, то точка А1 и А2 называются симметричными относительно прямой а. Каждая точка прямой a симметрична самой себе. (рис. 3.1)

Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Говорят, что одна фигура (или тело) зеркально симметрично другой, если вместе они образуют зеркально симметричную фигуру (или тело).

Игрокам в бильярд издавна знакомо действие отражения. Их «зеркала» — это борта игрового поля, а роль луча света исполняют траектории шаров. Ударившись о борт возле угла, шар катится к стороне, расположенной под прямым углом, и, отразившись от неё, движется обратно параллельно направлению первого удара.

Важно отметить, что два симметричных друг другу тела не могут быть вложены или наложены друг на друга. Так перчатку правой руки нельзя надеть на левую руку. Симметрично зеркальные фигуры при всём своём сходстве существенно отличаются друг от друга. Чтобы убедиться в этом, достаточно поднести лист бумаги к зеркалу и попытаться прочесть несколько слов, напечатанных на ней, буквы и слова просто-напросто будут перевёрнуты справа налево. По этой причине симметричные предметы нельзя называть равными, поэтому их называют зеркально равными.

Рассмотрим пример. (рис. 4.1)

Две зеркально симметричные плоские фигуры всегда можно наложить
друг на друга. Однако для этого необходимо вывести одну из них (или обе) из их общей плоскости.
Вообще зеркально равными телами (или фигурами) называются тела (или фигуры) в том случае, если при надлежащем их смещении они могут образовать две половины зеркально симметричного тела (или фигуры).

Симметрия, как и пропорция, почиталась необходимым условием гармонии и красоты.
Внимательно приглядевшись к природе, можно увидеть общее даже в самых незначительных вещах и деталях, найти проявления симметрии. Форма листа дерева не является случайной: она строго закономерна. Листок как бы склеен из двух более или менее одинаковых половинок, одна из которых расположена зеркально относительно другой. Симметрия листка упорно повторяется, будь то гусеница, бабочка, жучок и т.п.

• В природе. Снежинка демонстрирует шестикратную радиальную симметрию, а крылья бабочки — симметрию отражения: когда бабочка складывает крылья, они одинаковой формы и являются почти идеальным зеркальным отражением другого крыла.
• В архитектуре. Например, Тадж-Махал — здание идеальной симметричной планировки.
• В дизайне и технологии. Расположение компонентов на интегральных схемах обычно основывается на симметрии для оптимизации их производительности и минимизации помех.
• В логотипах. Многие бренды используют симметричный дизайн в логотипах своих компаний, чтобы создать ощущение баланса, структуры, стабильности и эстетической привлекательности.
• В быту. Например, орнаменты и бордюры, посуда, предметы интерьера, одежда.
• В повседневной жизни мы можем наблюдать разные виды симметрии. Вот несколько примеров: (см. приложении №2)

В заключении работы над индивидуальным исследовательским проектом по математике на тему "Симметрия вокруг нас" следует сказать, что были проанализированы виды симметрии по следующим признакам:

1. Легкость применения;
2. Практическое применение;
3. Чаще всего встречаются в жизни.

Установил, что легче всего применяются следующие виды: осевая симметрия и центральная симметрия. Симметрия применяется в архитектуре, технике, дизайне, музыке. В природе чаще всего встречается осевая симметрия.
В своей работе я изучил историю симметрии, ее виды, а так же где она встречается в жизни.

В результате работы были изучены следующие виды симметрии:

1. Центральная симметрия.
2. Симметрия вращения.
3. Осевая симметрия.
4. Зеркальная симметрия.

В результате проведенной работы был подготовлен буклет с видами симметрии и буклет с видами симметрии в жизни для учащихся 8 классов, что поможет повысить их математическую грамотность.

В ходе изучения данной работы оценил свой интеллектуальный потенциал, расширил свой кругозор, пробудил интерес к математике и истории ее развития, что соответственно, в будущем поможет мне определиться с выбором профессии.

1. История возникновения категорий симметрии - Роль симметрии и асимметрии в научном познании
2. Принципы симметрии Выполнила студентка 1 курса Сметанникова Александра
3. Проект по математике "Симметрия вокруг нас"
4. Симметрии фигур (осевая, центральная, поворотная, переносная) / Четырехугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс
5. проект "Симметрия вокруг нас" | Образовательная социальная сеть
6. my_v_mire_simmetrii_sosh_7_ablivanov_v.doc

История симметрии

Симметрия в природе

Симметрия в архитектуре

Симметрия в дизайне и технологии

Симметрия в логотипах

Симметрия в быту